n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre dü-zenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
a b ise, (a, b) (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x A ve y B} dir.
A B ise, A x B B x A dır.
C. KARTEZYEN ÇARPIMININ
ÖZELLİKLERİ
i) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B C) = (A x B) (A x C)
iv) (B C) x A = (B x A) (C x A)
v) A x (B C) = (A x B) (A x C)
vı) A x = x A =
| vıı) |
D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
A x B ise, = {(x, y) : (x, y) A x B} dir.
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r m . n) bağıntı sayısı
A x B olmak üzere,
= {(x, y) : (x, y)A x B} bağıntısının tersi
-1 B x A dır.
Buna göre, bağıntısının tersi
-1 = {(y, x) : (x, y)
} dır.
E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özelliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)
ise,yansıyandır.
"x A için, (x, x)
yansıyandır.
2. Simetri Özelliği
bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) ise, simetriktir.
"(x, y) b için (y, x)
simetriktir.
b bağıntısı simetrik ise = -1 dir.
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2 - n) dir.
3. Ters Simetri Özelliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken "(x, y) b için (y, x) b ise, b ters simetriktir.
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.
4. Geçişme Özelliği
, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x, y) ve (y, z)
] için (x, z) ise,
olmalı
bağıntısının geçişme özelliği vardır.
F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x, y)
ise, x denktir. y ye denir.
x y biçiminde gösterilir.
b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
–a biçiminde gösterilir.
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
–a = {y : y A ve (a, y)b} olur.
2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.
0 yorum:
Yorum Gönder