a,b IR ve olmak üzere, a + ib biçiminde-ki sayİlara karmaşık sayılar denir.
Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir.
z = a + ib
karmaşık sayısında a ya bu sayının gerçel (reel) kısmı ve b ye de bu sayının sanal (imajiner) kısmı denir. Buna göre,
z = a + ib Re (z) = a ve İm(z) = b dir.
1) z = a + ib sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
2) Karmaşık sayılar, düzlemdeki noktalar olduğundan sıralama özelliği yoktur.
B. SANAL BİRİMİN (i nin) KUVVETLERİ
n bir pozitif tam sayı ve i2 = – 1 olmak üzere,
- i4n = (i4)n = 1n = 1
- i4n+1 = i4n . i = i
- i4n+2 = i4n . i2 = – 1
- i4n+3 = i4n . i3 = – i dir.
i nin herhangi bir kuvveti bulunurken, kuvvetin 4 ile bölümünden kalan i nin üssü olarak yazılır.
Buna göre, x y(mod 4) ise,
ix = iy dir. (i = -1)
C. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
z = x + iy karmaşık sayısının eşleniği
z = x – iy dir.
1) z karmaşık sayısının eşleniği olan –z sayısı reel eksene göre simetriktir.
2) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.
( –z ) = z dir.
D. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1. Toplama ve Çıkarma
z1 = a + ib
z2 = c + id
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
- z1 + z2 = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)
- z1 – z2 = (a + ib) – (c + id) = a – c + i(b – d)
olur.
2. Çarpma
z1 = a + ib
z2 = c + id
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
z1 . z2 = (a + ib) (c + id)
= a . c + a . id + ib . c + ib . id
= ac + iad + ibc + i2bd
= ac + iad + ibc – bd
= (ac – bd) + i(ad + bc) olur.
| z . –z = (a + ib) (a – ib) = a2 + b2 dir. |
3. Bölme
z1 = a + ib
z2 = c + id
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
olur.
1) z1 ± z2 sayısının eşleniği –z1 ± –z2 dir.
2)
z1 . z2 sayısının eşleniği –z1 . –z2 dir.
3)
sayısının eşleniği dir.
4)
z + –z = 2 . Re(z) dir.
5)
z – –z = 2 . İm(z) dir.
6)
z sayısının toplama işlemine göre tersi – z dir.
7)
z sayısının çarpma işlemine göre tersi tir.
(z
0 + i0)
8)
z1 . (z2 ± z3) = z1 . z2 ± z1 . z3 tür.
E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK
DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) uzaklığına bu sayının mutlak değeri ya da modülü denir.
z karmaşık sayısının modülü |z| ile gösterilir.
| | z=x+iy ise |z|=x2+y2 dir |
1) |z| = |– z| = |–z| = |iz| = |– iz|
2)
|z1 . z2| = |z1| . |z2|
3)
z2 ¹ 0 + i0 olmak üzere,
4)
|z1| – |z2| £ |z1 + z2| £ |z1| + |z2|
5)
z . –z = |z|2
6)
|zn| = |z|n
7)
z1 = a + ib
z2 = c + id
|z1 - z2|= (a - c)2 + (b - d)2 dir
olmak üzere, z1 ile z2 arasındaki uzaklık:
z, değişen değerler alan karmaşık sayı ve z1 sabit bir karmaşık sayı ve r pozitif gerçel sayı olmak koşuluyla
|z – z1| = r
eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi z1 ve yarıçapı r olan çember belirtir.
1) z = x + iy olmak üzere,
|z| = r Ş x2 + y2 = r2 dir.
Şekildeki çember üzerinde bulunan bütün noktalar |z| = r koşulunu
sağlar.
2)
z = x + iy ve z1 = a + ib olmak üzere,
|z – z1|
r |x – a + i(y – b)|
r dir.
Şekildeki taralı bölgede bulunan bütün nok-talar, |z – z1|
r koşulunu
sağlar.
Eğer |z – z1| < r ise, çember üzerindeki noktaların belirttiği z sayıları
verilen eşitsiz-liği sağlamaz.
3)
z = x + iy
z1 = a + ib
olmak üzere,
|x + iy – (a + ib)| = |(x – a) + i(y – b)|
r
olur. |z – z1| r koşulunu sağlayan z sayıları, merkezi (a, b) ve yarıçapı r olan çembe-rin üzerindeki ve dışındaki bütün sayılardır.
Eğer |z – z1| > r ise, çember üzerindeki sayılar verilen koşulu sağlamaz.
0 yorum:
Yorum Gönder